2010统计师考试统计基础知识：抽样统计

还是宛云

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(一) 抽样调查的概念和作用

　　1. 抽样调查的意义和作用

　　抽样调查是非全面调查，它是从研究的总体中按随机原则抽取部分单位作为样本，进行观察研究，并根据这部分单位的调查结果来推断总体，以达到认识总体的一种统计调查方法。又称为概率抽样或随机抽样。

　　随机原则就是在抽取调查单位时，完全排除人为的主观因素影响，就概率意义而言，又称为等可能性原则。

　　抽样调查的主要作用：
　　(1) 用于不可能进行全面调查的总体数量特征的推断。主要有两种情况：第一种是无限总体的调查，第二种是具有破坏性或消耗性的产品质量检验。
　　(2) 用于某些不必要进行全面调查的总体数量特征的推断。
　　(3) 用于全面调查资料的评价和验证。
　　(4) 用于生产过程的质量控制。


　　2. 抽样推断中的几个基本概念

　　(1) 总体和样本
　　总体是指包括调查对象所有单位的全体，它是由具有某种共同性质的许多单位组成的。
　　组成总体的单位叫总体单位(也称为个体)。一般用N表示总体单位数。
　　本书统计推断中用X、Y、Z等大写字母表示随机变量。

　　样本：从总体中按随机原则抽取出来的部分单位所组成的集合体就称为样本。从总体X中随机抽取的n个个体X1,X2…Xn称为总体X的一个样本，记为(X1,X2…Xn)，其中第Xi称为第i个样品，样本中所含样品个数n称为样本容量。

　　由于总体X中哪一个个体充当样本的第i个样品Xi(i=1,2…n)通常是随机的，所以每个样品Xi也都随机变量。于是，样本(X1,X2…Xn)便是n维随机向量。在一次试验中，样本(X1,X2…Xn)的一组观测值(x1,x2,…xn)称为样本观测值。在不同的试验中，样本(X1,X2…Xn)的取值通常是不相同的。一般并不把样本看作是固定不变的，而把它看成是n维随机向量(X1,X2…Xn)在不同试验下的取值，所有样本值的全体构成一个n维空间，这样，一次试验中的样本值便可以看作是这个n维空间中的一个样本点。
　　样本要满足以下两点的样本称为简单随机样本，简称为样本。
　　① 独立性
　　② 代表性

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① 代表性

　　(1) 参数与统计量
　　参数：是研究者想要了解的总体的某种特征值。
　　总体平均数μ，总体标准差σ，总体比例 等，通常用希腊字母表示。
　　总体是唯一确定的，因此总体参数也是唯一确定的。
　　统计量：样本来自总体，样本的性质在一定程度上可以反映出所在总体的性质。但为了解总体，需要对样本进行“加工”，以提取其中有益信息。
　　所谓对样本加工是针对不同的统计问题构造一个不含未知参数的样本函数，这样的函数称为统计量。常用的统计量有如下几个。

　　① 样本均值：是样本的算术平均数，它反映了总体的数学期望信息。

(3)重复抽样与不重复抽样。

　　重复抽样(有放回抽样)是把总体中已抽取的样本单位再放回总体中去，重复地参加以下的抽样
　　不重复抽样(无放回抽样)是某一单位在被抽中之后，就不再放回总体重复参加以后各次的抽样。

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(一) 抽样误差

　　1. 抽样误差的概念

　　统计误差：是指在统计调查中，调查资料与实际情况间的偏差。即抽样估计值与被估计的未知总体参数之差。

　　登记误差(工作误差)由主观或客观的原因引起。调查范围越广，规模越大，误差的可能性就越大。

　　统计误差按产生来源分：
　　代表性误差：在抽样调查中，用样本推断总体所产生的误差。
　　抽样误差：指在遵循了随机原则的条件下，不包括登记误差和系统误差在内的，用样本指标代表总体指标而产生的不可避免的误差。由于总体平均数、总体成数是唯一确定的，而样本平均数、样本成数是随机变量，因而抽样误差也是一个随机变量。抽样误差越小，说明样本的代表性越高;反之，样本的代表性越低。同时抽样误差还说明样本指标与总体指标的相差范围，因此，它是推断总体指标的依据。

　　抽样误差是统计推断所固有的，虽然无法避免，但可以运用数学公式计算。因此，抽样误差也称为可控制的误差。
　　(2)影响抽样误差的因素
　　①抽样单位的数目：数目越大，越接近总体。
　　②总体被研究标志的变异程度：抽样误差和总体标志的变异程度成正比变化。
　　③抽样方法的选择：不重复抽样比重复抽样的抽样误差小。
　　④抽样组织方式不同。不同的抽样组织所抽中的样本，对于总体的代表性也不同。

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1. 抽样平均误差的计算

　　(1) 抽样平均误差的涵义
　　抽样误差的抽样实际误差和抽样平均误差两种。抽样实际误差是指某一次抽样结果所得到的样本指标与总体指标数值之差。

　　抽样实际误差不能用来概括一系列抽样结果可能产生的所有误差，因此为了用样本指标去推算总体指标，需要计算这些误差的平均数，即抽样平均误差，用它来反映抽样误差的平均水平。

　　抽样平均误差是指所有可能出现的样本指数的标准差。我们把抽样平均误差简称为抽样误差，并用希腊字母μ来表示。


　　(2) 抽样平均误差的计算
　　抽样推断的两个主要目的：以样本平均数推断总体平均数，以样本成数推断总体成数。同时，在简单随机抽样时又有重复抽样和不重复抽样的两种取样方法。这样，抽样平均误差也因此有如下度量的公式：

　　① 抽样平均数的抽样平均误差
　　a. 重复抽样

　　b. 不重复抽样

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① 抽样成数的抽样平均误差

　　a. 重复抽样

　　b. 不重复抽样

　　(3) 总体方差和总体成数未知

　　当总体方差和总体成数未知时，可用以下方法解决：

　　第一， 用样本方差来代替总体方差；用样本成数p(1-p)代替总体成数P(1-P)。

　　第二， 可用过去全面调查的资料，也可以用过去抽样调查的资料代替。如果有多个不同的材料，由应选择方差数值较大的。

　　第三， 用估计资料代替。

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为了理解抽样平均误差的概念，举一个简单例子。

　　例2   假设从4个生产零件的工人总体抽取2人进行抽样调查，来推断4个工人的平均日产量。4个工人的实际日产量分别为A：40件，B：45件，C：55件，D：60件。求重复抽样条件下和不重复抽样条件下的抽样误差。

样本序号	样本单位名称	样本单位标志值	样本平均数 xi	离差	离差平方
1	A，A	40,40	40	-10	100
2	A，B	40,45	42.5	-7.5	56.25
3	A，C	40,55	47.5	-2.5	6.25
4	A，D	40,60	50	0	0
5	B，A	45,40	42.5	-7.5	56.25
6	B，B	45,45	45	-5	25
7	B，C	45,55	50	0	0
8	B，D	45,60	52.5	2.5	6.25
9	C，A	55,40	47.5	-2.5	6.25
10	C，B	55,45	50	0	0
11	C，C，	55,55	55	5	25
12	C，D	55,60	57.5	7.5	56.25
13	D，A	60,40	50	0	0
14	D，B	60,45	52.5	2.5	6.25
15	D，C	60,55	57.5	7.5	56.25
16	D，D	60,60	60	10	100
总计	－	－	－	－	500

　　因为，抽样平均误差是所有可能样本的指标的标准差，所以

　　对于这16个样本，无论抽到哪个样本，平均误差均为5.59件。
　　即可排列出12个样本。每个样本都可计算平均日产量，而且他们与-x有离差，计算并用表列出如下。

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      不重复抽样条件下，从4个单位中，抽选2个单位为样本，根据排列方法可知，不重复抽样的样本排列的可能数目的计算公式为：

　　于是

样本序号	样本单位名称	样本单位标志值	样本平均数 xi	离差	离差平方
1	A，B	40,45	42.5	-7.5	56.25
2	A，C	40,55	47.5	-2.5	6.25
3	A，D	40,60	50	0	0
4	B，A	45,40	42.5	-7.5	56.25
5	B，C	45,55	50	0	0
6	B，D	45,60	52.5	2.5	6.25
7	C，A	55,40	47.5	-2.5	6.25
8	C，B	55,45	50	0	0
9	C，D	55,60	57.5	7.5	56.25
10	D，A	60,40	50	0	0
11	D，B	60,45	52.5	2.5	6.25
12	D，C	60,55	57.5	7.5	56.25
总计	－	－	－	－	250

　　所以，抽样平均误差为：

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3.抽样极限误差

　　(1)抽样极限误差的定义

　　抽样极限误差就是指抽样指标和总体指标之间抽样误差的可能范围。

　　抽样极限误差通常需要以抽样平均误差μ为标准单位来衡量，把极限误差Δ除以μ得到相对数t。我们把t称为概率度，这一变换称为概率的标准化过程。

　　式中Δ表示抽样极限误差；t表示概率度；μ表示抽样平均误差。



　　(2)抽样极限误差的计算

　　抽样极限误差又称为抽样允许误差，是t倍的抽样平均误差。

　　① 抽样平均数的抽样极限误差
　　a. 重复抽样

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(三)样本单位数的确定

　　1.影响样本单位数的几个主要因素
　　确定样本容量，是抽样设计的主要任务之一。所需样本单位数的多少，决定于总体标志的差异程度、允许误差的大小、把握程度的大小和所采用的抽样估计方法等。

　　确定必要抽样单位数的原则是：在保证抽样推断能达到预期的可靠程度和精确程度的要求下，确定一个恰当的样本单位数目。
　　一般地，在确定抽样单位数时，须考虑以下因素：
　　(1) 抽样推断的可靠程度。它与概率度t有关。若要求抽样的可靠程度较高，t也较大，抽样的数目就要多数;若可靠程度要求不高，t也较小，抽样的数目就要少些。
　　(2) 总体方差的大小。若变异程度大，则需多抽取一些样本单位;若变异程度较小，则可少抽取一些。如果总体各单位标志值相等，只抽一个样本单位即可。
　　(3) 抽样极限误差的大小。即抽样推断的精确程度。如极限误差小，即允许误差小，则需多抽取样本单位。如果不允许有抽样误差，就只能进行全面调查。
　　(4) 抽样方法与组织形式。一般在同样条件下，重复抽样需要多抽取样本，此外，抽样单位数目的多少还取决于不同的抽样组织形式。一般分层抽样和等距抽样可以比纯随机抽样需要的样本单位数少，整群抽样比纯随机抽样需要的样本单位数多。



　　2.抽样单位数的计算
　　只介绍纯随机抽样的样本容量计算公式。
　　(1) 在重复抽样条件下：

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应用上面的公式计算样本容量应注意以下几个问题：

　　第一，依上面公式计算的n是最小的，也是最必要的样本容量。

　　第二，一般总体方差 或P(1-P)是未知的。在实际计算时往往用有关资料来代替。1)如果进行本次调查之前，曾经进行过同类问题的全面调查，可用全面调查的数据代替;2)组织实验性抽样，在进行正式抽样调查之前，组织两次或两次以上实验性抽样，用实验样本的方差最大者代替;3)成数方差P(1-P)在完全缺乏资料的情况下，可用成数方差P(1-P)的极大值0.5×0.5来代替。

　　第三，如果进行一次抽样调查，同时对总体平均数和总体成数进行区间估计，运用上面公式计算的 一般不等，为了同时满足两个推断的要求，一般在两个样本容量中选择较大的一个。

　　第四，上面公式计算的n不一定是整数，如果带小数，一般不采取四舍五入的办法化成整数。而是用比这个数大的邻近的整数代替。



　　例7   对10000只某产品进行耐用性能测试，根据以往资料，耐用时间的标准差为51.91小时，若采用重复抽样的方法，概率保证68.27%，平均耐用时数的误差范围不超过9小时。在这种条件下应抽多少只产品?又根据以往经验，产品的合格率为91%，要求在99.73%的概率保证下，允许误差不超过5%，问需要抽多少只产品？